高校入試だけど不定方程式 日大習志野
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- Опубликовано: 9 фев 2025
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問題解説の後に、一次関数のグラフを用いたプラスアルファの説明があって、面白かったです！
5x≦99と考えればx≦19、3yは3の倍数、99は3の倍数だが5の倍数ではないので、5xが3の倍数でなければなければならないので、xは3の倍数となる。x≦19で3の倍数は6つ。……という考えが中学の時に出来ればな～
あまり賢いやり方ではないですが、99の1以外の最小約数が3で、左辺に3yが存在するので、5xが3の倍数になるケース場合のxを一通り挙げ、あとはその時のyを求めました。
同じように考えました。
99は3の倍数で3yも3の倍数なので5xも3の倍数となり、xは3の倍数となる。そして右辺が99でyは正なのでxは20未満の3の倍数に絞られ、xは3,6,9,12,15,18の6通りとなることから、(x,y)は全部で6通りである。
私も↓の様に解いた、中学生ではこの様な場合分けはちょっと難しいな、普段からこの様な解き方をマスターしたら難関高校合格も可能と感じる・・
私は地道に求めました｡
まず5xについて考えたのですが、5xの下一桁は0か5のみです｡
ですから5xの下一桁が0になる場合、3yの下一桁は9、5xの下一桁が5になる場合は3yの下一桁は4ということになります｡
たとえば5xの下一桁が0になる場合は、yの値は3，13、23、33、43、・・・と続きますが、5xと合わせて99未満にならなくてはならないので3、13、23の3つとなります｡
それらをyに代入していってそれぞれのxの値を求めてxの値は6、12、18｡
続いて5xの下一桁が5になる場合を考えて同じように計6組を求めました｡
解説ありがとうございました。
5x=99-3y
5x=3(33-y)
よって
5x=3の倍数
x=3の倍数という流れで解けました。
この問題は1の位だけ見て考えたらめっちゃ簡単。5の倍数の1の位は0,5だけだから3yの1の位が4,9になるものを考えるだけ
私もそう考えました。99じゃなくて79とか3の倍数じゃなくても出来ますね
@@ryukou1972jp そうそう！こんな感じの問題でx,yの係数のどっちかが5の倍数やったらこのやり方で瞬殺！
5x=3(33-y)に変形して、33-yが5の倍数として考えました
中学生だったら１通り解を見つけて規則性・周期性の利用で解くかな。デキる人なら合同式を使うなり格子点問題として解くなりするだろうけど。
5Xの一の位は5か0なので、
①一の位が5の場合、3yの一の位は4→y＝8,18,28（38以上は99を超えるのでNG）
②一の位が0の場合、3yの一の位は9→y＝3,13,23（33はxが正の数というのに反する、43以上は99を帰るのでNG）
それぞれyが3種類でしたので、3×2で6種類と解きました。
逆に、5x+3yで表せない整数はいくつあるか、みたいなのがどこかの大学で出されてましたね
x,yを非正整数も認めるなら
x=2,y=-3のとき
5x+3y=1となるので
x=2n,y=-3nとすると
5x+3y=n
つまり任意のnを5x+3yで表せます
逆にx,yを正の整数に限定するなら
5x+3y=nのとき
nは3で割って2余る8以上の数
すなわちn=8,11,14,17,…
または
5で割って3余る8以上の数
すなわちn=8,13,18,23,…
に限定されるので
5x+3yで表せない数は無限に存在することになります
出題するなら
2つの正の整数x,yにおいて5x+3yで表せない100以下の正の整数は何個あるか？
みたいになると思います
3で割って2余る8以上100以下の正の整数の集合P
5で割って3余る8以上100以下の正の整数の集合Qとすると
P∩Qは15で割って8余る数なので
n(P∪Q)
=n(P)+n(Q)-n(P∩Q)
=31+19-7
=43
よって5x+3yで表せない100以下の正の整数47個
5x=3(33-y)なので5xは3の倍数かつ5の倍数で99より小なりで該当するのが15、30、45、60、75、90の6通り
アレ？これで終わりじゃね、と思ったらその通りだった😊
よくある質問
「右辺が素数のときはどうする？」
例5x+3y=97
動画の解法にあわせるのであれば
5(x+1)+3(y-1)=99
などと右辺が都合の良い数になるように一種の変数変換を行うか、そいつはちょっと難しいということであれば、特殊解探し。
@@たかしただの-x3b さん
ありがとうございます
古いですが1999年-2002年の中学3年生向きの駿台模試だと、私の解答例1が最もメジャーな解法みたいです
@@たかしただの-x3b さんの解答で正解ですよ。
ごめんなさい。それは私のコメントが多分スパムとしてはじかれてますね
両辺に1を足して、
5X+3Y+1＝100
と考えて、3Y+1が5の倍数になるケースを探す。となると、最初は3となり、Y＝3の時は5Xは90なので、X＝18。あとはYに5を足していき、それに合うXを求めていく
18,3の組はすぐに見つかる。５と３は互いに素なので、18から3ずつ減らしていけばよい。
法を3とした合同式使えば秒で解けますね
99から5xを引いたら3の倍数、99も3の倍数ということで、5xが3の倍数になる数
つまりx=3,6,9,12,15,18が成り立つ
という暗算をしました
算数でも扱う時があって、まず(x,y)=(0,33)を見つけます（99÷3＝33だからっていう理由にならない理由です）。
以降5×3＝3×5＝15なので、「ｘを3ずつ増やし、ｙを５ずつ減らす」という操作をしていきます（「L.C.M.交換」なんて言ってます）。
最後に、(x,y)=(0,33)は条件に合わないので除外するという流れでやってますね。
最難関中の合格者はこういった訓練をしているので、大学入試（高校入試はスキップするので）でも「(受験)算数が抜けきらない」ってよく言われてますね。
５の倍数（５～９５）と３の倍数（３～９９）を書き出して合計が９９になるものを探した方が早いかもな。
x=0の場合を暫定的に想定すると、自ずと解けますね。
本質的に大差ないのですが...
5xが3の倍数なので、5xは15の倍数です。
5x 3y
=====
15 84
30 69
...
90 9
何通りか求めるだけなので3yを計算する必要はないのですが、念のため。
xが3の倍数かつ96以下の時しか式が成立しないので、
5×3=15から5×18=90までの6通り。
mod3 で不定方程式の一般解を求めました。高校受験では使えるのかな。
きんに君だったら全部当てはめて割り出しそう
x=20-(3y+1)/5 としても良いですね。
０は正の整数じゃないんですね！０入れて7通り・・・間違いでした！！！
普通に高校数学範囲ですね…
中学生に出すのは禁止です。
この手の問題はグラフ化できれば分かりやすいですね
5x＝99-3yで気合い
トレミーの定理か。
正の整数と言われたとき、x=0を含むか迷うのはボクだけじゃないはず（笑）😂
次
半円にして7の辺を延長すると直角三角形の斜辺は直径
7:24:25の直角三角形,等辺25の二等辺三角形から
24:7+25=3:4より3:4:5の直角三角形で直径は40
半径は20
2つの直角三角形の相似より
x:半径=3:4
x=15
ちょっとギブアップでしたね．合同式使ってしまった．
簡単でした
次、
１５
15,30,45,60,75,90
パッと見で思いつくな